\chapter{Функциональные последовательности и ряды}
\section{Равномерная сходимость}
  \definition[поточечная сходимость]{
    Рассмотрим некое множество \(A \subset \realnum\), и семейство функций
    \(f_n(x) : A \to \realnum\). Пусть предел
    \(\lim_n f_n(x_0)\) существует для каждой \(x_0 \in A\). Определим \(f(x)\): \[
      f(x) \equiv \lim_n f_n(x) \quad x \in A
    \]. Тогда говорим, что функции \(f_n(x)\) \defined{сходятся поточечно} к \(f(x)\).
  }

  Приведём несколько контрпримеров, демонстрирующих недостатки такого определения.
  \begin{enumerate}
    \item{
      Если \(f_n(x)\) непрерывные, то это ещё не значит, что \(f(x)\) тоже будет
      непрерывна. Пример тому -- функции вида \[
        f_n(x) = \left\{\begin{array}{c c}
          1 - nx & nx < 1 \\
          0 & nx \ge 1 \\
        \end{array}\right.
      \], определённые на \(\left[ 0, 1 \right]\). Они непрерывные, но сходятся к
      индикатору нуля, разрывной функции.
    }
    \begin{figure}[H]
      \centering
      \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (0, 0) -- (2, 0);
        \draw[-latex] (0, 0) -- (0, 2);
        \draw (0, 0) node[below]{0};
        \draw[ultra thick] (0, 1) -- (0.4, 0) node[above, right, midway]{$f_n(x)$}
        node[below]{$1/n$} -- (1, 0) node[below]{1};
      \end{tikzpicture}
      \begin{tikzpicture}
        \draw[-latex] (0, 0) -- (2, 0);
        \draw[-latex] (0, 0) -- (0, 2);
        \draw[ultra thick] (0, 1) node{$\bullet$}; 
        \draw[ultra thick] (0, 0) node{$\circ$} node[below]{0} -- (1, 0)
        node[below, midway]{$f(x)$} node[below]{1};
      \end{tikzpicture}
    \end{figure}
    \item{
      Если \(f_n(x)\) сходятся поточечно к \(f(x)\), то это не значит, что \[
        \int_0^1 f_n(x) dx \to \int_0^1 f(x)dx
      \].
    }
  \end{enumerate}

  Видим, что такой сходимости недостаточно для свойств, которые мы хотели бы из
  неё получить в качестве следствия. Поэтому определим более сильный вид
  сходимости, из которого уже будут следовать нужные нам свойства.
  \definition[равномерная сходимость]{
    Пусть при тех же условиях задана \(f(x) : A \to \realnum\).
    Будем говорить, что последовательность \(f_n(x)\) \defined{равномерно
    сходится} к \(f(x)\) на множестве \(A\) (и обозначать \(f_n(x) \rightto
    f(x)\)), если \[
      \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N \in \natnum} : \forall{n > N} ~
      \forall{x \in A} \pred \abs{f_n(x) - f(x)} < \varepsilon
    \].
  }
  \begin{theorem}[равномерная последовательность Коши]
    Задана последовательность \(f_n(x) : A \to \realnum\).
    Если \[
      \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N \in \natnum} : \forall{m, n > N} ~
      \forall{x \in A} \pred \abs{f_n(x) - f_m(x)} < \varepsilon
    \], тогда \(\{f_n(x)\}\) равномерно сходится к некой \(f(x)\).
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Рассмотрим произвольную точку \(x_0 \in A\)
    Последовательность \(\left\{ f_n(x_0) \right\}\) --
    фундаментальна; тогда \(\lim f_n(x_0)\) существует.

    Выберем \(f(x)\) равной этому пределу: \[
      f(x_0) \equiv \lim_n f_n(x_0)
    \].
    
    Теперь рассмотрим произвольный \(\varepsilon_0 > 0\). Для него будет верно
    \{
      \[
        \exists{N} \hiderel{:} \forall{m, n \hiderel{>} N} ~ \forall{x
        \hiderel{\in} A} ~ \pred \abs{f_n(x) - f_m(x)} < \varepsilon_0
      \].
      \intertext{Так как \([\forall{x \in A} ~ \abs{f_n(x) - f_m(x)} <
      \varepsilon]\) верно при любом \(m > N\), можно сделать предельный переход
      при \(m \to \infty\):}
      \[
        \abs{f_n(x) - f(x)} < \varepsilon_0
      \].
    \}
    Это, в свою очередь, и означает, что \(f_n(x) \rightto f(x)\).
  \end{proof}

\section{Свойства равномерно сходящихся последовательностей}
  Будем далее рассматривать последовательности \(f_n(x) : [a, b] \to\realnum\),
  равномерно сходящиеся к \(f(x)\) на \(\left[ a, b \right]\).
  \begin{theorem}
    Если \(f_n(x)\) -- непрерывные, то и \(f(x)\) непрерывная.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Рассмотрим произвольные \(\varepsilon_0 > 0\) и \(x_0 \in \left[ a, b
    \right]\). Для них верно \[
      \exists{N} : \forall{n > N} ~ \forall{x \in [a, b]} ~
        \pred\abs{f_n(x) - f(x)} < \frac{\varepsilon_0}{3}
    \]. Рассмотрим произвольный \(n_0 > N\); \(f_{n_0}(x)\) будет непрерывна.
    Запишем этот факт: \[
      \exists{\delta_0 > 0} : \forall{x \in \neigh_{\delta_0}(x_0)} ~
      \pred\abs{f_{n_0}(x) - f_{n_0}(x_0)} < \frac{\varepsilon_0}{3}
    \]. Рассмотрим теперь произвольный \(x \in \neigh_{\delta_0}(x_0)\). Для него
    будет верно: \[
      \abs{f(x) - f(x_0)} = \abs{\left( f(x) - f_{n_0}(x) \right) + \left(
      f_{n_0}(x) - f_{n_0}(x_0) \right) + \left( f_{n_0}(x_0) - f(x_0) \right)}
      \le \abs{f(x) - f_{n_0}(x)} + \abs{f_{n_0}(x) - f_{n_0}(x_0)} +
      \abs{f_{n_0}(x_0) - f(x_0)} < \frac{\varepsilon_0}{3} +
      \frac{\varepsilon_0}{3} + \frac{\varepsilon_0}{3}
    \].
  \end{proof}
  \note{Аналогичным образом, только без фиксации \(x_0\), доказывается и
  равномерная непрерывность.}
  \begin{theorem}
    Если \(f_n(x) \rightto f(x)\), причём и все \(f_n(x)\), и \(f(x)\)
    интегрируемы на \(\left[ a, b \right]\), то \[
      \int_a^b f_n(x)dx \to \int_a^b f(x)dx
    \].
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \[
      \abs{\int_a^b f_n(x)dx - \int_a^b f(x)dx} \le \int_a^b \abs{f_n(x) -
      f(x)}dx \le \varepsilon_0(b - a)
    \]. Последний переход верен, так как из равномерной сходимости \[
      \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N_0} : \forall{n > N_0} ~ \forall{a \in
      [a, b]} ~ \pred \abs{f_n(x) - f(x)} < \varepsilon
    \].
  \end{proof}
  \note{
    Рассмотрим некоторую \(x_0 \in [a, b]\) \[
      \abs{\int_a^{x_0}f_n(x)dx - \int_a^{x_0}f(x)dx} \le \varepsilon_0(x_0 - a)
      \le \varepsilon_0 (b - a)
    \]. Определим \(\Phi_n(x_0)\):
    \{
      \[
        \Phi_n(x_0) \equiv \int_a^{x_0} f_n(x_0)dx
      \],
      \[
        \Phi(x_0) \equiv \int_a^{x_0} f(x_0)dx
      \].
    \}
    Легко заметить, что \(\forall{x \in [a, b]} ~ \abs{\Phi_n(x) - \Phi(x)} <
    \varepsilon_0(b - a)\), а значит, \(\Phi_n(x) \rightto \Phi(x)\)
  }

  \begin{theorem}
    Пусть задано множество непрерывных функций \(f_n(x) : [a, b] \to \realnum\) с
    непрерывными производными. Пусть также \(f'_n(x) \rightto g(x)\), а
    \(f_n(x) \to f(x)\). Тогда \(f(x)\) имеет
    производную на отрезке \([a, b]\) и эта производная и есть \(g(x)\).
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Заметим, что \[
      \int_a^x f'_n(x)dx \to \int_a^x g(t)dt
    \]. Но \[
      \int_a^x f'_n(x)dx = f_n(x) - f_n(a)
    \], что поточечно сходится к \(f(x) - f(a)\). Но равномерная сходимость является
    в частности поточечной сходимостью, поэтому \(f(x) - f(a) = \int_a^x
    g(t)dt\). Возьмём производную: \(\left( f(x) - f(a) \right)' = g(x)\). Но тогда
    \(f'(x) = g(x)\).
  \end{proof}

\section{Равномерно сходящиеся ряды}
  Будем далее записывать \(u_n(x) : [a, b] \to \realnum\).
  \definition{
    Будем говорить, что \(\series{n = 1} u_n(x)\) сходится
    (поточечно либо равномерно) к \(u(x)\), если последовательности частичных сумм
    (поточечно или равномерно) сходятся к \(u(x)\).
  }
  \begin{theorem}
    Ряд \(u_n(x)\) сходится равномерно, если и только если \[
      \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \exists{K, m > N} : \forall{x \in
      [a, b]} \pred \left| \sum_{n = k}^m u_n(x) < \varepsilon \right|
    \].
  \end{theorem}
	Доказательство очевидно.
  \begin{theorem}[признак Вейерштрасса]
    Пусть есть некоторая последовательность функций \(u_n(x) : [a, b] \to
    \realnum\) и \(\varphi_n(x) : [a, b] \to\realnum\). Пусть выполняется оценка \[
      \forall{x \in [a, b]} ~ \forall{n \in \natnum} ~ \pred |u_n(x)| \le \varphi_n(x)
    \]. Пусть ряд \(\series{n = 1}\varphi_n(x)\) сходится равномерно.
    Тогда \(\series{n = 1} u_n(x)\) тоже равномерно сходится.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \[
      \abs{\sum_{n = k}^{m} u_n(x)} \le \sum_{n = k}^m \abs{u_n(x)} \le
      \sum_{n = k}^m \varphi_n(x)
    \]. Ряд \(\series{n = 1} \varphi_n(x)\) равномерно сходится: \[
      \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{k, m > N} ~
      \forall{x \in [a, b]} \pred \abs{\sum_{n = k}^m
      \varphi_n(x)} < \varepsilon
    \], что, собственно, влечёт \[
      \forall{k, m > N} \forall{x \in [a, b]} \pred \abs{\sum_{n = k}^m
      u_n(x)} < \varepsilon
    \].
  \end{proof}
  \begin{consequences}
    \item
      Если \[
        \forall{x \in [a, b]} ~ \forall{n \in \natnum} ~ \pred \abs{u_n(x)} <
        b_n
      \] и ряд \(\series{n = 1} b_n\) сходится, то \(\series{n = 1} u_n(x)\)
      сходится равномерно.
  \end{consequences}
  \note{Признак Абеля доказывается аналогично оному для рядов.
  Сходимость заменяется равномерной сходимостью, ограниченность заменяется
  равномерной ограниченностью. То же с признаком Дирихле.\TODO{привести полное
  доказательство}}
  \begin{theorem}[признак Абеля]
    Рассмотрим две функциональные последовательности: \(a_n(x) : [c, d] \to
    \realnum\) и \(b_n(x) : [c, d] \to \realnum\). Если \(\series{n = 1}
    a_n(x)\) равномерно сходится, а \(b_n(x)\) монотонны и \[
      \exists{L > 0} : \forall{x \in [c, d]} ~ \forall{n \in \natnum} ~
      \pred\abs{b_n(x)} < L
    \], то \(\series{n = 1} a_n(x)b_n(x)\) сходится равномерно на \([c, d]\).
  \end{theorem}
  \begin{theorem}[признак Дирихле]
    Рассмотрим две функциональные последовательности: \(a_n(x) : [c, d] \to
    \realnum\) и \(b_n(x) : [c, d] \to \realnum\). Если \[ 
      \exists{L > 0} : \forall{x \in [c, d]} ~ \forall{N \in \natnum} ~
      \pred\abs{\sum_{n = 1}^N a_n(x)} < L
    \], а \(b_n(x)\) монотонны на \([c, d]\) и \(b_n(x) \rightto 0\), то
    \(\series{n = 1} a_n(x)b_n(x)\) сходится равномерно на \([c, d]\).
  \end{theorem}
  \begin{theorem}[признак Дини]
    Пусть имеется последовательность функций \(u_n(x) : [a, b] \to \realnum\),
    непрерывных и неотрицательных. Пусть \[
      \forall{x \in [a, b]} \pred \series{n = 1} u_n(x) = u(x)
    \], причём \(u(x)\) непрерывна.
    Тогда ряд \(\series{n = 1} u_n(x)\) сходится к \(u(x)\) равномерно.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \[
      u(x) - \sum_{n = 1}^{N - 1} u_n(x) = \series{n = N} u_n(x)
    \]. \[
      \series{n = N} u_n(x) \assignto \varphi_N(x)
    \]. Заметим, что \(\varphi_N(x) \ge \varphi_{N + 1}(x) \ge \varphi_{N +
    2}(x)\) (это следует из неотрицательности \(u_n(x)\)),
    а также что \(\varphi_N(x)\) непрерывны (т.\,к. \(u(x)\) и \(u_n(x)\)
    непрерывны). Также очевидно, что \[
      \forall{x \in [a, b]} ~ \pred \lim_N\varphi_N(x) = 0
    \].

    Докажем от противного, что \[
      \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{x \in [a, b]} \pred
      \abs{\varphi_N(x)} < \varepsilon
    \]. Пусть нашёлся \(\varepsilon_0 > 0\), такой, что \[
      \forall{N \in \natnum} ~ \exists{x_N \in [a, b]} : \pred |\varphi_N(x_N)| \ge \varepsilon_0
    \].  Так как \(x_N\) можно найти для любого \(N\),
    можно состроить последовательность \(\{x_N\}\).

    Она ограниченна (\(x_N \in [a, b]\)), значит, в ней можно выделить
    сходящуюся подпоследовательность.\footnote{Следствие из теоремы Вейештрасса
    о частичных пределах (см. первый семестр).}

    Выделим подпоследовательность
    \(\{x_{N_k}\}\), которая будет сходиться
    к некоторому \(x_0 \in [a, b]\).
    Тогда, так как \(\varphi_N(x)\) непрерывны, будет верно \[
      \forall{m \in \natnum} ~ \pred \varphi_m(x_{N_k}) \to \varphi_m(x_0)
    \]. 
    При этом, так как \(\varphi_m(x_{N_k}) \ge \varphi_{N_k}(x_{N_k}) \ge
    \varepsilon_0\), то и \(\varphi_m(x_0) \ge \varepsilon_0\). А это
    противоречит тому, что \(\varphi_m(x_0)\) при фиксированном \(x_0\)
    бесконечно малая.
  \end{proof}
  \begin{theorem}[теорема о непрерывных функциональных рядах]
    Если ряд \(\series{n = 1} u_n(x)\), где \(u_n(x)\) непрерывны, сходится
    равномерно к
    \(u(x)\), то и \(u(x)\) тоже непрерывна.
  \end{theorem}
  \begin{theorem}[теорема об интегрируемых функциональных рядах]
    Посылка предыдущей теоремы также влечёт \[
      \series{n = 1} \int_a^b u_n(x) dx = \int_a^b u(x)dx
    \].
  \end{theorem}
  \begin{theorem}[теорема о дифференцируемых функциональных рядах]
    Пусть на одном и том же промежутке заданы последовательности непрерывных
    функций \(u_n(x)\) и \(u'_n(x)\). Если ряд \(\series{n = 1} u_n(x)\)
    поточечно сходится к \(u(x)\), а \(\series{n = 1} u'_n(x)\) равномерно
    сходится к некоторой \(g(x)\), то \(g(x) \equiv u'(x)\).
  \end{theorem}
\section{Степенные ряды}
  \definition[степенной ряд]{
    \defined{Степенным рядом} называется ряд вида \(\series{n = 0} u_n(x) =
    \series{n = 0} a_nx^n\), где \(a_n \in \realnum\).
  }
  \definition[область сходимости]{
    \defined{Областью сходимости} называется множество \(A \subset \realnum\), на
    котором ряд сходится.
  }
  \begin{lemma}[лемма Абеля]
    Пусть степенной ряд \(\series{n = 0} a_nx^n\) сходится в точке \(x_0 \in
    \realnum\). Тогда он сходится абсолютно для любого \(x : \abs{x} <
    \abs{x_0}\)
  \end{lemma}
  \begin{proof}
    Если ряд \(\series{n = 0} a_nx_0^n\) сходится, то, с необходимостью, \[
      \lim_n a_nx_0^n = 0
    \], а это, в свою очередь, требует ограниченности \(\left\{ a_n x_0^n
    \right\}\): \[
      \exists{M > 0} : \forall{n \in \natnum} ~ \pred \abs{a_nx_0^n} < M
    \]. Теперь рассмотрим некий \(x \in \realnum\), меньший \(x_0\) по модулю:
    \[
      \abs{a_nx^n} = \abs{a_nx_0^n}\left( \frac{\abs{x}}{\abs{x_0}}
      \right)^n \le M\left( \frac{\abs{x}}{\abs{x_0}} \right)^n
    \]. Но тогда ряд \(\series{n = 0} a_nx^n\) мажорируется сходящимся рядом
    \(\series{n = 0} \abs{\frac{x}{x_0}}^n\), и, следовательно, сходится.
  \end{proof}
  \begin{consequences}
    \item
      Если в точке \(x_0\) ряд \(\series{n = 0} a_nx_0^n\) расходится, то во
      всех \(x\),
      больших \(x_0\) по модулю, ряд будет тем более расходиться.
  \end{consequences}.
  \definition[радиус сходимости]{
    Супремум множества всех \(x_0\), при которых степенной ряд сходится, обозначается \(R\) и
    называется \defined{радиусом сходимости}. Так,
    \{
      \[
        x : \abs{x} < R \implies \text{ ряд сходится}
      \], \[
        x : \abs{x} > R \implies \text{ ряд расходится}
      \].
    \}
  }
  \definition[интервал сходимости]{
    Интервал \(\left( -R, R \right)\) называется \defined{интервалом сходимости}.
  }
  \begin{theorem}[теорема Коши-Адамара]
    Дан степенной ряд \(\series{n = 0} a_n x^n\). Если существует \[
      \rho = \bar{\lim_n} \sqrt[n]{\abs{a_n}}
    \], то \(R = \frac{1}{\rho}\).
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \begin{itemize}
      \item \(\rho = 0\).
        Здесь хотим доказать, что \(R = +\infty\), то есть, ряд сходится всегда.
        Применим признак Коши: если \(\lim_n\sqrt[n]{\abs{a_nx_0^n}} < 1\), то ряд \(\series{n
        = 0} a_nx^n\) при \(x = x_0\) сходится. \[
          \lim_n\sqrt[n]{\abs{a_nx_0^n}} = \abs{x_0}\lim_n\sqrt[n]{\abs{a_n}} =
          \abs{x_0}\rho = 0 < 1
        \], причём это верно при любом \(x_0\).
      \item \(\rho = +\infty\).
        Здесь хотим показать, что \(R = 0\), то есть, ряд не сходится нигде,
        кроме нуля (вопрос о сходимости в точке \(x = 0\) остаётся открытым).

        Снова пользуемся признаком Коши, согласно которому при
        \(\lim_n\sqrt[n]{\abs{a_nx_0^n}} > 1\) ряд расходится. \[
          \lim_n\sqrt[n]{\abs{a_nx_0^n}} = \abs{x_0}\lim_n\sqrt[n]{\abs{a_n}} =
          \abs{x_0}\rho = +\infty\cdot\abs{x_0}
        \]. При ненулевом \(x_0\) ряд расходится, в нуле получаем
        неопределённость.
      \item \(0 < \rho < \infty\).
        Покажем, что для \(x_0 < R\) ряд действительно сходится, а для \(x_0 > R\)
        -- расходится.
        \begin{enumerate}
          \item
            Если \(\abs{x_0} < R = \frac{1}{\rho}\), то \(\rho <
            \frac{1}{\abs{x_0}}\). Выберем \(\alpha\) таким, что \[
              \rho < \alpha < \frac{1}{\abs{x_0}}
            \]. Тогда \(\alpha\abs{x_0} < 1\).

            Так как \(\sqrt[n]{a_n} \to \rho < \alpha\), то лишь конечное число
            элементов этой последовательности может быть больше \(\alpha\). Так,
            начиная с некоторого \(n_0\), \(\sqrt[n]{\abs{a_n}} < \alpha\), или же,
            \(\abs{a_n} < \alpha^n\).

            При этом, \(\abs{a_nx_0^n} = \abs{a_n}\abs{x_0}^n < \alpha^n\abs{x_0}^n
            = (\alpha\abs{x_0})^n\). Просуммировав эти неравенства для всех \(n >
            n_0\), увидим, что начиная с \(n_0\) сумма этой
            геометрической прогрессии мажорирует исследуемый ряд; при этом сумма
            прогрессии сходится, так как \(\alpha\abs{x_0} < 1\) согласно выбору \(\alpha\).

          \item
            Если же, \(\abs{x_0} > R = \frac{1}{\rho}\), то \(\frac{1}{\abs{x_0}} <
            \rho = \lim_n\sqrt[n]{\abs{a_n}}\), а значит, начиная с некоторого \(n_0\) вся
            последовательность \(\sqrt[n]{\abs{a_n}} > \frac{1}{\abs{x_0}}\).
            Умножив неравенство на \(\abs{x_0}\), получим \(\sqrt[n]{\abs{a_nx_0^n}}
            > 1\), а это по признаку Коши означает, что ряд \(\series{n = 0}
            a_nx^n\) при \(x = x_0\) расходится.
        \end{enumerate}
    \end{itemize}
  \end{proof}

  \begin{theorem}[о сходимости на вложенном отрезке]
    Если радиус сходимости степенного ряда -- \(R\), то ряд сходится равномерно на
    произвольном отрезке \([c, d] \subset (-R, R)\).
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Рассмотрим некоторое \(r \in (0, R)\), такое что \([c, d] \subset [-r, r]\).
    Очевидно, в точке \(r\) ряд сходится, так как \(r \in (0, R)\).

    Теперь рассмотрим все \(x \in [c, d]\). По выбору \(r\), \(\abs{x} \le r\).
    Тогда \[
      \abs{a_nx^n} \le \abs{a_n}\abs{x}^n \le \abs{a_n}\abs{r}^n \le
      \abs{a_nr^n}
    \]. Ряд \(\series{n = 0} \abs{a_nr^n}\) сходится, значит \(\series{n = 0}
    \abs{a_nx^n}\) сходится равномерно по следствию из признака Вейерштрасса.
  \end{proof}
  \begin{consequences}
    \item
      Если интервал сходимости функции, представленной степенным рядом,
      совпадает с её областью определения, то она непрерывна.
  \end{consequences}
  
  \begin{theorem}
    Пусть радиус сходимости степенного ряда \(\series{n = 0} a_nx^n\) равен
    \(R\). Если ряд сходится в точке \(R\), то на всём отрезке \([0, R]\) он
    сходится равномерно.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Рассмотрим \(x \in [0, R]\).
    Представим ряд в следующем виде: \[
      a_nx^n = a_nR^n \left(\frac{x}{R}\right)^n = \tilde{a}_n(x)\tilde{b}_n(x)
    \], где
    \{
      \[
        \tilde{a}_n(x) = a_nR^n
      \], \[
        \tilde{b}_n(x) = \left(\frac{x}{R}\right)^n
      \].
    \}

    Функциональный ряд \(\series{n = 0} \tilde{a}_n(x)\) сходится
    равномерно в любой точке \(x\), так как от \(x\) там ничего не зависит, а
    ряд \(\series{n = 0} a_nR^n\), в силу посылки, сходится.

    Функциональная последовательность \(\tilde{b}_n(x)\) монотонна и
    ограниченна: \[
      1 \ge \left( \frac{x}{R} \right)^n \ge \left( \frac{x}{R} \right)^{n + 1}
      \ge \cdots
    \]. 

    Тогда ряд \(\tilde{a}_n(x)\tilde{b}_n(x)\) сходится равномерно по признаку
    Абеля.
  \end{proof}

  \begin{theorem}[теорема Абеля]
    Если функция \(f(x)\) представлена степенным рядом, радиус сходимости
    которого равен \(R\), и определена на \((-R, R)\), а также выполняются
    следующие условия:
    \begin{enumerate}
      \item \(\series{n = 0} a_nR^n\) сходится,
      \item существует предел \[
        \lim_{x \to R-0} f(x)
      \];
    \end{enumerate}
    тогда \[
      \series{n = 0} a_nR^n = \lim_{x \to R-0} f(x)
    \].
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Рассмотрим функцию \(g(x)\), представленную всё тем же степенным рядом, но
    определённую на \([0, R]\).
    
    В силу предыдущей теоремы, рассматриваемый степенной ряд сходится равномерно
    на \([0, R]\). Каждый из членов этого ряда -- непрерывная функция, поэтому
    \(g(x)\) тоже является непрерывной функцией на \([0, R]\).

    По определению \(g(x)\), \[
      g(R) = \series{n = 0} a_nR^n
    \]. С другой стороны, в силу непрерывности \(g(x)\), \[
      \lim_{x \to R-0} g(x) = g(R) = \series{n = 0} a_nR^n
    \]. Осталось заметить, что \[
      \lim_{x \to R-0} g(x) = \lim_{x \to R-0} f(x)
    \], так как на  \(x \in [0, R)\), \(g(x) = f(x)\).
  \end{proof}
  \note{
    Эта теорема используется в методе суммирования по Абелю. Если функция
    представлена степенным рядом с радиусом сходимости \(R > 1\), то можно,
    воспользовавшись этой теоремой, получить сумму ряда, просто вычислив
    непосредственно значение функции: \[
      f(1) = \lim_{x \to 1-0} f(x) = \series{n = 0} a_n
    \].

    В случае же если ряд не сходится в традиционном смысле этого слова, а предел
    у функции существует, можно использовать эту теорему как обобщение понятия
    суммирования. В таких случаях говорят, что ряд \defined[сумма ряда по
    Абелю]{сходится по Абелю}.

  }
  Обратной к теореме Абеля является теорема Таубера (приводится здесь без
  доказательства).
  \begin{theorem}[теорема Таубера]
    \(\series{n = 0} a_n\) при суммировании по Абелю сходится, когда \(a_n =
    O(\frac{1}{n})\). 
  \end{theorem}

  \begin{theorem}[первообразная степенного ряда]
    Пусть функция \(f(x)\) представлена степенным рядом \(\series{n = 0}
    a_nx^n\). Пусть \(F(x)\) -- её первообразная. Тогда на всём интервале
    сходимости \[
      F(x) = F(0) + \series{n = 0} a_n \frac{x^{n + 1}}{n + 1}
    \].
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Рассмотрим произвольный \(x_0 \in (-R, R)\), для простоты, положительный (иначе
    можно просто поменять знаки). Выберем \(a\) таким образом, чтобы \(x_0 < a <
    R\). По теореме о сходимости на вложенном отрезке, на \([-a, a]\) ряд
    сходится равномерно. Но тогда работает теорема об интегрируемом
    функциональном ряде, согласно которой получаем второе равенство в следующей
    цепочке: \[
      F(x_0) - F(0) = \int_{0}^{x_0}f(x)dx = \series{n = 0}
      \int_{0}^{x_0}a_nx^n dx = \series{n = 0} a_n\frac{x_0^{n + 1}}{n + 1}
    \]. 
  \end{proof}

  \begin{lemma}
    При интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.
  \end{lemma}
  \begin{proof}
    Рассмотрим \(\rho = \frac{1}{R}\). \(R = 0\) не рассматриваем, так как в этом
    нет смысла.

    По теореме Коши-Адамара,\footnote{Верхний предел \(\rho\) всегда существует.
    Это следует из теоремы Вейерштрасса о частичных пределах: <<множество
    частичных пределов ограниченной последовательности не пусто>>. См. первый
    семестр.} \(\rho = \bar{\lim_n} \sqrt[n]{\abs{a_n}}\).
    Рассмотрим поведение последовательности \(\sqrt[(n +
    1)]{\frac{a_n}{n + 1}}\). Сразу применим известный факт о том, что
    \(\sqrt[n]{n} \to 1\), а значит и \(\sqrt[(n + 1)]{n + 1} \to 1\).

    Осталось найти предел \(\sqrt[(n + 1)]{\abs{a_n}}\). Утверждается,
    что \(\sqrt[(n + 1)]{\abs{a_n}}\) эквивалентно
    \(\sqrt[n]{\abs{a_n}}\). Чтобы убедиться в этом, этого вычислим частное: \[
      \frac{\sqrt[n]{\abs{a_n}}}{\sqrt[(n + 1)]{\abs{a_n}}} =
      \abs{a_n}^{\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}} =
      \abs{a_n}^{\frac{1}{n(n + 1)}} = \left( \abs{a_n}^{\frac{1}{n}}
      \right)^{\frac{1}{n + 1}} \to \rho^{\frac{1}{n + 1}} \to 1
    \].

    Получили, что \(\bar{\lim_n} \sqrt[(n + 1)]{\frac{a_n}{n + 1}} = \rho\), а
    значит, при интегрировании степенного ряда радиус сходимости не меняется.
  \end{proof}


  \begin{theorem}[производная степенного ряда]
    Пусть имеется функция \(f(x) = \series{n = 0} a_n x^n\), заданная степенным рядом. Пусть радиус
    сходимости \(R > 0\). Тогда в любой точке \(x_0 \in (-R; R)\) \(f(x)\) дифференцируема и
    \(f'(x_0) = \series{n = 1} n a_n x_0^{n - 1}\)
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \[
      \series{n = 1} n a_n x_0^{n - 1}
    \]
    Согласно лемме, радиус сходимости не изменился.
    Это означает, что на том отрезке, где исходный ряд сходится
    равномерно, ряд из производных тоже сходится равномерно. Наведём теперь
    формализм.

    Ряд \(\series{n = 1} n a_n x_0^{n - 1}\) равномерно сходится на отрезке \([0,
    a]\).  Пусть он сходится к \(g(x)\). Тогда по теореме о дифференцировании
    равномерно сходящихся рядов, получаем \(f'(x) = g(x)\). Но это и означает, что
    \[
      f'(x_0) = \series{n = 1} n a_n x_0^{n - 1}
    \]
  \end{proof}
\section{Ряд Тейлора. Аналитические функции.}
  Рассмотрим ряд \[
    f(x) = \series{n = 0} a_n x^n
  \], равномерно сходящийся на \((-R, R)\), где \(R > 0\), причём \(f(0) = a_0\).
  Очевидно, имеем право продифференцировать его \(k\) раз. Запишем \(k\)-ю
  производную: \[
    f^{[k]}(x) = \series{n = k} n(n - 1)\dots(n - (k - 1))a_nx^{n - k}
  \]. При этом, подставив ноль, получим \[
    f^{[k]}(0) = k!a_k
  \]. То есть, очевидно, \[
    a_k = \frac{f^{[k]}(0)}{k!}
  \]. То есть, если функция представлена степенным рядом, то это ряд Тейлора.
  Единственность такого представления легко заметить.

  Таким образом мы доказали следующую теорему.
  \begin{theorem}
    Если функция представлена степенным рядом, то это ряд Тейлора.
  \end{theorem}
  Рассмотрим теперь ситуацию с другой стороны.
  \definition[аналитичность]{
    Рассмотрим бесконечно гладкую функцию \(f : [c, d] \to \realnum\), причём \(0 \in [c, d]\). Формально можно
    составить такой ряд: \[
      \series{n = 0} \frac{f^{[k]}(0)}{k!}
    \]. Если этот ряд сходится к \(f(x)\) на некотором \([\alpha, \beta] \subset [c,
    d]\), содержащем ноль, то говорят, что \(f(x)\) \defined{аналитична} на отрезке
    \([\alpha, \beta]\). 
  }
  \begin{theorem}
    Если функция бесконечно гладкая и все её производные равномерно
    ограниченные, то она аналитична.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Пусть все производные ограничены неким \(K > 0\).

    Мы можем составить сам ряд Тейлора, т.\,к. функция бесконечно гладкая; нас
    интересует, не сходится ли он к \(f\). Составим частичную сумму: \[
      \left|\sum_{n = 0}^{N} \frac{f^{[n]}(0)}{n!} x_0^n - f(x_0)\right| =
      (\star)
    \]. Легко заметить, что выражение под модулем есть просто остаточный член в
    форме Лагранжа: \[
      (\star) = \left|-\frac{f^{[N + 1]}(0)}{(N + 1)!}x_0^{N + 1}\right| \le
      \frac{K}{(N + 1)!}|x_0|^{N + 1} \le \frac{K}{(N + 1)!}\left(\max\{c,
      d\}\right)^{N + 1}
    \], а последнее выражение сходится к нулю как \(\frac{a^n}{n!}\).
  \end{proof}

  Пример бесконечно гладкой не аналитической функции: \[
    f(x) = \left\{\begin{array}{l l}
      e^{-\frac{1}{x^2}} & x \neq 0 \\
      0 & x = 0 \\
    \end{array}\right.
  \]. Рассмотрим её производную: \[
    f'(x) = \frac{2}{x^2}e^{-\frac{1}{x^2}}
  \]. Так, все производные будут выглядеть следующим образом: \[
    f^{[n]}(x) = \frac{P_n(x)}{Q_n(x)}e^{-\frac{1}{x^2}}
  \]. Таким образом, все производные этой функции в нуле -- нули, значит, её ряд
  Тейлора тождественно нулевой. Но при этом такой ряд Тейлора нигде, кроме нуля,
  к функции не сходится.

  Стоит обратить внимание на то, что все эти производные имеют вертикальные
  асимптоты, а значит, не удовлетворяют критерию ограниченности.
\section{Формула Стирлинга}
  Рассмотрим последовательность \[
    a_n = \ln \left(n!\right) - \left(n + \frac{1}{2}\right) \ln n + n
  \]. Утверждается, что она сходится.
  Составим разностную последовательность \(a_{n + 1} - a_n\): \[
    a_{n + 1} - a_n = \ln n - \left( n + 1 + \frac{1}{2} \right) \ln(n + 1) +
    \left( n + \frac{1}{2} \right)\ln n + 1 =
    \left( n + \frac{1}{2} \right)(\ln n - \ln(n + 1)) + 1 =
    1 - \left( n + \frac{1}{2} \right)\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right) =
    \Break
  \]. Теперь разложим логарифм в ряд Тейлора: \[
    \Resume = 1 - \left( n + \frac{1}{2} \right)\left( \frac{1}{n} -
    \frac{\left( \frac{1}{n} \right)^2}{2} + \frac{\left( \frac{1}{n}
    \right)^3}{3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) \right) = -\frac{1}{12n^2} -
    \frac{1}{6n^3} + \left( n + \frac{1}{2} \right)o\left( \frac{1}{n^3} \right)
  \]. Получили сходящийся ряд. Теперь перезапишем его под одним логарифмом. \[
    a_n = \ln\frac{n! e^n}{n^{n + \frac{1}{2}}}
  \]. Если \(a_n \to C\), то \(\frac{n! e^n}{n^{n + \frac{1}{2}}} \to e^C = A\).
  Перепишем в форме эквивалентности:
  \begin{align*}
    n! &\sim A n^{n + \frac{1}{2}} \frac{1}{e^n}, \\
    n! &\sim A \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{n}.
  \end{align*}
  Для нахождения константы \(A\) выведем формулу Валлиса. Сперва введём в
  рассмотрение такие интегралы: \[
    I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int
    _0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n - 1} x d(\cos x) = \left( \cos x \sin^{n -
    1}x  \right)_0^{\frac{\pi}{2}}  + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}
    d(\sin^{n - 1} x) =
    (n - 1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n - 2}x \cos^2
    x dx = (n - 1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin^{n - 2}x - \sin^n x
    \right) = (n - 1) \left( I_{n - 2} - I_n \right)
  \], причём, как видно, \[
    I_n = \frac{n - 1}{n}I_{n - 2}
  \]. Найдём \(I_0\) и \(I_1\):
  \{
    \[
      I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx = \frac{\pi}{2}
    \], \[
      I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = 1
    \].
  \}
  Подставив в рекуррент, получим:
  \{
    \[
      I_{2n} = \frac{2n - 1}{2n}I_{2n - 2} = \frac{(2n - 1)(2n - 3)}{2n (2n -
      2)}I_{2n - 4} =  \dots = \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}
    \], \[
      I_{2n - 1} = \frac{(2n - 2)!!}{(2n - 1)!!}
    \].
  \}

  Теперь утверждается, что верно следующее неравенство: \[
    I_{2n + 1} \le I_{2n} \le I_{2n - 1}
  \]. Подставив в него интегралы, получим: \[
    \frac{(2n)!!}{(2n + 1)!!} \le \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2} \le
    \frac{(2n - 2)!!}{(2n - 1)!!}
  \], или же, \[
    1 \le \frac{(2n + 1) \left( (2n - 1)!! \right)^2}{\left( (2n)!!
    \right)^2}\frac{\pi}{2} \le \frac{2n + 1}{2n}
  \]. Здесь можно применить теорему о двух жандармах, из которой и получится теорема
  Валлиса: \[
   \lim_n  \frac{(2n + 1)\left( (2n - 1)!! \right)^2}{\left( (2n)!!
   \right)^2}\frac{\pi}{2} = 1
  \], откуда получаем \[
    \lim_n \frac{1}{2n + 1} \left( \frac{(2n)!!}{(2n - 1)!!} \right)^2 =
    \frac{\pi}{2}
  \].

  Это и есть формула Валлиса. Но нам она нужна для нахождения константы в формуле
  Стирлинга. В последней фигурируют обычные факториалы, в первой -- двойные, и их
  нужно свести к обычным.
  \[
    (2n)!! = 2\cdot4\cdot6\cdot8\dots 2n = 2^n n!
  \]
  Продолжим преобразование:
  \[
    \frac{1}{2n + 1}\left( \frac{(2n)!!}{(2n - 1)!!} \right)^2 =
    \frac{1}{2n + 1}\left( \frac{((2n)!!)^2}{(2n)!} \right)^2 =
    \frac{1}{2n + 1}\left( \frac{(2^n n!)^2}{(2n)!} \right)^2 =
    \frac{1}{2n + 1}\left( \frac{2^{4n} (n!)^4 }{\left( (2n)! \right)^2}
      \right) \sim
    \frac{1}{2n + 1} \frac{A^4 \left( \frac{n}{e} \right)^{4n} n^2}{A^2
      \left( \frac{2n}{e} \right)^{4n} 2n} =
    \frac{A^2n}{2(2n+1)} \to \frac{A^2}{4}
  \]
  Отсюда \(A = \sqrt{2\pi}\).
\section{Разложение котангенса в сумму простейших. Приём Герглотца}
  Если у нас есть дробь вида \[
    \frac{P(x)}{Q(x)}
  \], то мы умеем раскладывать её в сумму простейших.
  Попробуем обобщить этот приём. У синуса и косинуса корни -- \(\pi k\), так что
  возникает такой вопрос: можно ли выполнить такое разложение: \[
    \ctg{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \sum_{k \in \intnum} \frac{A_k}{x - \pi k}
  \]? Оказывается, можно.
  \begin{theorem}[теорема Эйлера]
    \[
      \pi \ctg{\pi x} = \frac{1}{x} + \series{n = 1}\left( \frac{1}{x + n} +
      \frac{1}{x - n} \right) = \sum_{k \in \intnum}^{\substack{
        \text{в смысле}\\
        \text{главного}\\
        \text{значения}
      }}
      \frac{1}{x - k}
    \]
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Рассмотрим функцию \(f(x) = \pi \ctg{\pi x}\) и ряд \[
      g(x) = \frac{1}{x} + \series{n = 1}\left( \frac{1}{x + n} +
      \frac{1}{x - n} \right)
    \]. Покажем, что \(g(x)\) равномерно сходится на любом \( \left[ \alpha, \beta
    \right] \subset (m, m+1) m \in \intnum\). \[
      \abs{\frac{1}{x + n} + \frac{1}{x - n}} = \abs{\frac{\alpha x}{x^2 - n^2}}
      \le \frac{\alpha\left( \abs{m} + 1 \right)}{\abs{x^2 - n^2}} \overset{*}{=}
      \frac{2\left(\abs{m} + 1\right)}{n^2 - x^2} \le
      2\frac{\abs{m} + 1}{n^2 - \left( \abs{m} + 1 \right)^2} \sim
      \frac{1}{n^2}
    \] (переход, помеченный снежинкой, верен, так как всегда можно выбрать \(n\)
    таким, что \(n > \abs{x}\)). Тогда по теореме Вейерштрасса ряд равномерно
    сходится.
    \begin{itemize}
      \item
      Отсюда же \( g(x) : \realnum \setminus \intnum \to \realnum \) непрерывна
      на \(\left[ \alpha, \beta \right] \subset (m, m+1) \); функция
      \(f\) такая же.
      \item
        Обе функции нечётны.
      \item
        Очевидно, \(f(x + 1) = f(x)\).
        Покажем то же для \(g(x)\). Для этого введём частичные суммы \(g(x)\): \[
          g_N(x) = \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^N \left( \frac{1}{x + n} +
          \frac{1}{x - n} \right)
        \]. Теперь запишем \(g(x + 1)\): \[
          g_N(x + 1) = \frac{1}{x + 1} + \sum_{n = 1}^N \left(
          \frac{1}{x + (n + 1)} + \frac{1}{x - (n - 1)} \right)
        \]. Почти все слагаемые общие, только два лишних: \[
          g_N(x + 1) - g_N(x) = \frac{1}{x + N + 1} - \frac{1}{x - N}
        \]. Перейдя к пределу при \(N \to \infty\), увидим, что разность стремится к
        нулю.
      \item
        Обе функции удовлетворяют следующему свойству, не имеющему собственного
        названия: \[
          f\left( \frac{x}{2} \right) + f\left( \frac{x+1}{2} \right) = 2f(x)
        \]. Подставив \(f(x)\) (сразу разделим всё равенство на \(\pi\)) убедимся в
        этом: \[  
          \ctg{\frac{\pi x}{2}} - \ctg\left(\frac{\pi x}{2} +
          \frac{\pi}{2}\right) = \ctg{\frac{\pi x}{2}} -
          \tg{\frac{\pi x}{2}} = 2\ctg{\pi x}
        \]. Теперь проверим для \(g(x)\):
        \[
          g_N\left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{\frac{x}{2}} + \sum_{n =
          1}^N\left( \frac{1}{\frac{x}{2} + n} + \frac{1}{\frac{x}{2} - n}
          \right) = 2\left( \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^N\left(
          \frac{1}{x - 2n} + \frac{1}{x + 2n} \right) \right)
        \]. \[
          g_N\left( \frac{x + 1}{2} \right) = \frac{2}{x + 1} + \sum_{n = 1}^N
          \left( \frac{1}{\frac{x + 1}{2} + n} + \frac{1}{\frac{x + 1}{2} - n}
          \right) = 2\left( \frac{1}{x + 1} + \sum_{n = 1}^N \left(
          \frac{1}{x + (2n - 1)} + \frac{1}{x + (2n + 1)}
          \right) \right)
        \]. \[
          g_N\left(\frac{x}{2}\right) + g_N\left( \frac{x + 1}{2} \right) =
          2\left( g_{2N}(x) + \frac{1}{x + 2N + 1} \right)
        \].
    \end{itemize}

    Определим \(h(x) = f(x) - g(x)\). Она наследует все вышеуказанные свойства,
    при этом её можно доопределить в целых точках до непрерывной. При этом
    достаточно проверить её лишь в одной точке, так как она периодична с
    периодом 1. \[
      \lim_{x \to 0+} h(x) = \lim_{x \to 0+} \left( f(x) - g(x) \right) =
      \underbrace{\lim_{x \to 0+} \left( \pi \ctg{\pi x} - \frac{1}{x}
      \right)}_{\assignto \mathref[s]{0}} - \underbrace{\lim_{x \to
      0+} \left( \series{n = 1} \left( \frac{1}{x + n} + \frac{1}{x - n} \right)
      \right)}_{\assignto \mathref[s]{1}}
    \]. \[
      \mathref[s]{0} = \pi\lim_{x \to 0+} \left( \ctg{\pi x} -
      \frac{1}{\pi x} \right) = \pi\lim_{t \to 0+} \left( \ctg{t} -
      \frac{1}{t} \right) = \pi\lim_{t \to 0+} \frac{t\cos{t} -
      \sin{t}}{t\sin{t}} = \pi\lim_{t \to 0+} \frac{t\cos{t} - \sin{t}}{t^2} =
      \left[ \frac{0}{0} \right] = \pi\lim_{t \to 0+} \frac{-t\sin{t}}{2t} = 0
    \]. \[
      \mathref[s]{1} = \series{n = 1} \frac{2x}{x^2 - n^2} = x\series{n = 1}
      \frac{2}{x^2 - n^2}
    \]. Предположим, что
    \[
      x \in \left( \frac{-1}{2}, \frac{1}{2} \right)
    \], и оценим сумму по модулю: \[
      \abs{\series{n = 1} \frac{2}{x^2 - n^2}} \le \series{n = 1}
      \frac{2}{\abs{x^2 - n^2}} \le \series{n = 1}\frac{2}{n^2 -
      \frac{1}{4}} = C
    \]. Сумма же, в свою очередь, умножена на \(x\), который стремится к нулю.

    Так, получаем \[
      \lim_{x \to 0+} h(x) = 0
    \]. Доопределим теперь \(h(x \in \intnum) = 0\). Найдём её максимум на
    \(x \in \left[ 0, 1 \right]\): \[
      m_0 = \max_{[0, 1]} h(x) = h(x_0)
    \]. Воспользуемся последним свойством: \[
      h\left( \frac{x_0}{2} \right) + h\left( \frac{x_0 + 1}{2} \right) = 2m_0
    \]. Оба слагаемых в левой части не больше \(m_0\), значит, оба они равны
    \(m_0\). Таким же образом получаем \[
      m_0 = h\left( \frac{x_0}{2^k} \right) = \lim_{k \to \infty}
      h\left( \frac{x_0}{2^k} \right) = h(0) = 0
    \]. Получаем \(h(x) \le 0\) при \(x \in \left[ 0, 1 \right]\). В силу нечётности
    получаем \(h(x) \ge 0\), то есть, \(h(x) \equiv 0\) на промежутке, а в силу
    периодичности получаем, что она равна нулю везде.
  \end{proof}

  Запишем некоторые другие разложения.
  \{
    \[
      \ctg{\pi x} = \frac{1}{\pi x} + \series{n = 1} \left(
      \frac{1}{\pi(x - n)} + \frac{1}{\pi(x + n)} \right)
    \]
    \[
      \ctg{x} = \frac{1}{x} + \series{n = 1}\left( \frac{1}{x - \pi n} +
      \frac{1}{x + \pi n} \right)
    \]
    \[
      \tg{x} = \ctg\left( \frac{\pi}{2} - x \right) =
      \frac{1}{\frac{\pi}{2} - x} + \series{n = 1} \left(
      \frac{1}{\frac{\pi}{2} - x - \pi n} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} - x + \pi n} \right)
    \]
    \[
      \tg\frac{x}{2} = -\left(
        \frac{1}{\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}} + \series{n = 1} \left( 
          \frac{1}{\frac{x}{2} + \pi\frac{2n - 1}{2}} +
          \frac{1}{\frac{x}{2} - \pi\frac{2n + 1}{2}}
        \right)
      \right) = (-2)\left( 
        \frac{1}{x - \pi} + \series{n = 1}\left( 
          \frac{1}{x + \pi(2n-1)} + \frac{1}{x - \pi(2n+1)}
        \right)
      \right) = (-2)\series{n = 1}\left( 
          \frac{1}{x + \pi(2n-1)} + \frac{1}{x - \pi(2n-1)}
      \right)
    \]
    \[
      \ctg\frac{x}{2} = 2\left( \frac{1}{x} + \series{n = 1}\left( 
          \frac{1}{x + 2\pi n} + \frac{1}{x - 2\pi n}
        \right)
      \right)
    \]
    \[
      \tg\frac{x}{2} + \ctg\frac{x}{2} =
      \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} +
      \frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} =
      \frac{1}{\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \frac{2}{\sin{x}} =
      2\left(\frac{1}{x} + \series{n = 1} (-1)^n\left( \frac{1}{x + \pi n} +
      \frac{1}{x - \pi n} \right)\right)
    \]
  \}
  Нам нужна была именно эта формула:
  \[ 
    \frac{1}{\sin{x}} = \frac{1}{x} + \series{n = 1} (-1)^n\left( \frac{1}{x + \pi n} +
      \frac{1}{x - \pi n} \right)
  \]
\section{Эйлеров интеграл}
  \[
    \int_0^{+\infty} \frac{x^{a - 1}}{1 + x}dx 
  \]. Нужно выбрать \(0<a<1\) так, чтобы он сходился. 
  \{
    \[
      \frac{x^{a - 1}}{1 + x} \sim x^{a - 1} \quad\quad (x \to 0)
    \],
    \[
      \frac{x^{a - 1}}{1 + x} \sim x^{a - 2} \quad\quad (x \to +\infty)
    \].
  \}
  \[
    I = \int_0^{+\infty} \frac{x^{a - 1}}{1 + x}dx =
      \underbrace{\int_0^1 \frac{x^{a - 1}}{1 + x}dx}_{\assignto I_1} +
      \underbrace{\int_1^{+\infty} \frac{x^{a - 1}}{1 + x}dx}_{\assignto I_2}
  \]. Сначала исследуем интеграл \(I_1\). Известен ряд Тейлора \[
    \frac{1}{1 + x} = \series{n = 0}\left( -1 \right)^nx^n
  \]. Если умножить равенство на \(x^{a - 1}\), то функция слева будет всё также
  представлена степенным рядом: \[
    \frac{x^{a - 1}}{1 + x} = \series{n = 0} (-1)^n x^{n + a - 1}
  \]. Подставим этот ряд в интеграл и воспользуемся теоремой об интегрируемом
  степенном ряде: \[
    I_1 = \int_0^1 \frac{x^{a - 1}}{1 + x}dx = \series{n = 0} (-1)^n \int_0^1 x^{n
    + a - 1} dx = \series{n = 0} \frac{(-1)^n}{n + a}
  \].
  
  Вообще, это действие не совсем правомерно, так как в единице нет равномерной
  сходимости. Поэтому построим продолжение интеграла. Рассмотрим этот интеграл
  при \(t < 1\), там всё честно: \[
    \varphi(t) = \int_{0}^{t}\frac{x^{a - 1}}{1 + x}dx = \series{n=0}
    \frac{(-1)^n t^{a + n}}{a + n}
  \]. Теперь рассмотрим интеграл как несобственный второго рода -- тогда его
  можно записать в виде предела. Более того, известно, что этот предел
  существует, и известно, чему он равен: \[
    \lim_{t \to 1-} \varphi(t) = \int_{0}^{1}\frac{x^{a - 1}}{1 + x}dx
  \]. С другой стороны, известно, что ряд
  \(\series{n=0} \frac{(-1)^n t^{a + n}}{a + n}\),
  которым представлена функция \(\varphi(t)\), в точке \(t = 1\) сходится.
  Тогда, по теореме Абеля, \[
    \varphi(1-0) = \int_{0}^{1}\frac{x^{a - 1}}{1 + x}dx = \series{n = 0}
    \frac{(-1)^n}{a + n}
  \].

  Теперь рассмотрим интеграл \(I_2\): \[
    I_2 = \int_{1}^{+\infty}\frac{x^{a - 1}}{1 + x}dx = \left[ x \mapsto
    \frac{1}{x} \right] = \int_{0}^{1}\frac{x^{1 - a}}{1 + \frac{1}{x}}\left(
    -\frac{1}{x^2} \right)dx = \int_{0}^{1}\frac{x^{-a}}{1 + x}dx = \series{n =
    0} \frac{(-1)^n}{n - a + 1} = \series{n = 1} \frac{(-1)^{n - 1}}{n - a} = 
    \series{n = 1}\frac{(-1)^n}{a - n}
  \]. Теперь вычислим интеграл \(I\): \[
    I = I_1 + I_2 = \frac{1}{a} + \series{n = 1} \left( \frac{(-1)^n}{a + n} +
    \frac{(-1)^n}{a - n} \right) = \frac{1}{a} + \series{n = 1}(-1)^n\left(
    \frac{1}{a - n} + \frac{1}{a + n}
    \right) = \frac{\pi}{\sin\pi a}
  \].



